توابع متناوب

توابعی را که در طول زمان تکرار می‌شوند، توابع متناوب می‌گویند. این منحنی ها به صورت موج سینوسی یا کسینوسی هستند یعنی می‌توانند در فواصل زمانی معین تکرار گردند. به صورت نادقیق تابعی از اعداد حقیقی متناوب نامیده می‌شود، هرگاه مقادیر آن در فواصل معین تکرار شوند.
تابعمتناوب است اگر عددی حقیقی و غیر صفر مانند m باشد بطوری که:
  • برای هر از دامنه ی ، عنصر نیز عضوی از دامنه ی باشد.
  • برای هر از دامنه، شرط برقرار باشد.
در این تعریف یک دوره ی تناوب تابع متناوب نامیده می شود.
با توجه به رابطه 1 در تعریف فوق ، به سادگی دیده می‌شود که دامنه تعریف هر تابع متناوب باید بی‌کران باشد. به عبارت دیگر همه توابعی که دارای دامنه محدود هستند نامتناوب می‌باشند.

دوره تناوب اصلی

در تابع متناوب عدد حقیقی غیر صفر که برای هر از دامنه تابع، در شرط صدق کند یک دوره تناوب تابع، و کوچکترین مقدار مثبت (در صورت وجود) دوره تناوب اصلی نامیده می‌شود.
نکته: با توجه به دو تعریف بالا به روشنی دیده می‌شود که هر مضرب صحیح غیر صفر از هر دوره تناوب یک تابع متناوب نیز می‌تواند دوره تناوبی از آن تابع باشد.

مثالهایی از توابع متناوب

  • در تابع هر عدد صحیح غیر صفر یک دوره تناوب و عدد 1 دوره تناوب اصلی می‌باشد.
  • تابع که در آن عدد حقیقی ثابت می‌باشد، دارای دوره تناوب اصلی نیست ولی هر عدد حقیقی غیر صفر می‌تواند دوره تناوب آن باشد.
  • تابع را که توسط اگر گویا باشد و اگر اصم باشد، در نظر می‌گیریم. به ازای هر عدد حقیقی و هر عدد گویای داریم: بنابراین f متناوب، و هر عدد گویا یک دوره تناوب آن می‌باشد.

ویژگیهای توابع متناوب

  • اگر تابع متناوب باشد، برای هر حقیقی غیر صفر، توابع و نیز متناوب خواهند بود و در صورتی که تابع دارای دوره تناوب اصلی برابر با باشد، توابع و دارای دوره های تناوب اصلی به ترتیب برابربا و خواهند بود.

  • اگر تابع متناوب باشد، آنگاه برای هر و صحیح غیر صفر، توابع و نیز متناوب خواهند بود.

  • اگر تابعی متناوب با دوره تناوب باشد، آنگاه به ازای هر عدد حقیقی و هر عدد صحیح داریم:

از این رو مقادیرد یک تابع متناوب با دوره تناوب، روی هر فاصله با طول تکرار می‌گردند. نتیجه: اگر تابعی متناوب با دوره تناوب باشد، آنگاه متناوب با دوره تناوب به ازای هر عدد صحیح و غیر صفر نیز هست.

  • دوره تناوب اصلی توابع سینوس و کسینوس مساوی با است.

  • توابع مثلثاتی




متناوب با دوره تناوب هستند.

  • دوره تناوب اصلی هر یک از توابع و برابر و دوره تناوب اصلی هر یک از توابع و برابر است. تابع همانی:
    می دانیم یک رابطه همانی روی مجموعه A رابطه ای است که برای هر عضو از مجموعه A چون a تنها شامل زوج مرتب باشد و هیچ زوج مرتبی با مولفه های متمایز نداشته باشد. این رابطه را به این صورت تعریف می کنیم:

    این رابطه روی مجموعه A یک تابع است که به آن تابع همانی می گوییم. این تابع هر عضو از دامنه خود را به خودش متناظر می کند. اگر f تابعی همانی از مجموعه A در A باشد، آن را به این صورت تعریف می کنیم:

    پس ضابطه تابع همانی به این صورت است:

    اثبات تابع بودن رابطه همانی:
    اگر f رابطه همانی روی مجموعه A به صورت مقابل باشد: برای اثبات تابع بودن این رابطه کافی است نشان دهیم:

    واضح است که:

    پس این رابطه تابع است.
    • از آنجا که معمولا در حساب دیفرانسیل و انتگرال با اعداد حقیقی و توابع حقیقی کار می کنیم معمولا تعریف زیر را برای تابع همانی استفاده می کنیم:
    تابع را با ضابطه تابع همانی می گوییم.
    نمودار این تابع بسته به دامنه تابع می تواند نیمساز ربع اول و سوم یا قسمتی از آن باشد.
    اگر دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی باشد نمودار این تابع نیمساز ربع اول و سوم خواهد بود که در زیر نمودار آن را مشاهده می کنید:
    تصویر

    • بررسی ویژگی های تابع همانی:

    • تابع همانی تابعی است که معکوس آن با خودش برابر است.
    برهان: کافی است نشان دهیم اگر آنگاه برای اثبات از روش یافتن وارون(معکوس) تابع استفاده می کنیم:

    مشاهدی می شود معکوس این تابع با خودش برابر است.
    این مطلب از نظر هندسی هم واضح است چرا که می دانیم برای یافتن نمودار معکوس تابع می توان نمودار آن تابع را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم قرینه نمود، حال آنکه قرینه تابع همانی نسبت به نیمساز ربع اول و سوم همان نیمساز ربع اول و سوم(خود تابع) است که نشان می دهد معکوس این تابع با خودش برابر است.

    • تابع همانی تابعی فرد است.
    برهان: باید نشان دهیم
    داریم:

    همچنین نمودار این تابع نسبت به مبدا مختصات متقارن است که دلیل بر فرد بودن این تابع است.

    • تابع همانی تابعی یک به یک و پوشا است پس می توان گفت این تابع یک تابع دو سویی(تناظر یک به یک) است.
    برهان: ابتدا نشان می دهیم این تابع، تابع یک به یک است:
    به این منظور باید نشان دهیم:

    اگر باشد طبق تعریف داریم: و از این عبارت نتیجه می شود که: . پس رابطه همانی یک تابع یک به یک است.
    حال نشان می دهیم این تابع پوشا است یعنی برای هر عضو در برد تابع عضوی متناظر در دامنه وجود دارد که آن عضو در دامنه به آن عضو در برد نظیر می شود. با توجه به اینکه برد و دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است باید نشان دهیم:


    و چون دامنه و برد این تابع برابر است می توان گفت x یافت شده (برای هر y) در دامنه وجود دارد. پس تابع پوشا است.
    حال چون تابع همانی هم یک به یک و هم پوشا است می توان گفت این تابع دو سویی است.

    • یادآودی: تابع f را دوسویی با تناظر یک به یک می گوییم هرگاه یک به یک و پوشا باشد. تابع ثابت:
      تابع را تابع ثابت می گوییم هر گاه برد آن یک مجموعه تک عضوی باشد. به عبارت دیگر تابع ثابت هر عضو از دامنه خود را تنها به یک مقدار ثابت متناظر می کند.
      پس ضابطه تابع ثابت f از مجموعه A در مجموعه B را می توان به این صورت نوشت که در آن c مقداری ثابت و همان برد تابع f است.
      به عنوان مثال تابع یک تابع ثابت است که هر عضو از دامنه خود(مجموعه اعداد حقیقی) را به عدد ثابت 2 متناظر می کند و عدد دو همان برد تابع است.
      نمودار پیکانی زیر نحوه عملکرد تابع ثابت را نشان می دهد:
      تصویر

      مشاهده می شود این تابع هر عضو از دامنه(A) خود را به یک مقدار ثابت c متناظر می کند.
      به عبارت دقیق تر تابع فوق یک تابع ثابت از مجموعه A به مجموعه تک عضوی {c} است که می توان این مطلب را اینگونه نوشت:
      تابع با ضابطه
      • به دلیل اینکه در حساب دیفرانسیل و انتگرال معمولا با توابع حقیقی و اعداد حقیقی کار می کنیم تابع ثابت معمولا به این صورت تعریف می شود:
      تابع با ضابطه را تابعی ثابت می گوییم. این تابع هر عدد حقیقی را به یک مقدار ثابت چون c متناظر می کند.
      نمودار تابع یک تابع ثابت همواره یک خط موازی محور X ها است. به عنوان مثال نمودار تابع ثابت به این صورت است:
      تصویر

      • بررسی ویژگی های توابع ثابت:

      • توابع ثابت توابعی غیر یک به یک می باشند.
      برهان: تابع ثابت هر عضو از دامنه خود را به C متناظر می کند پس: که این نشان می دهد تابع ثابت یک به یک نمی باشد چرا که دو زوج مرتب با مولفه اول متمایز و با مولفه دوم یکسان در آن یافت می شود.

      • توابع ثابت معکوس پذیر نمی باشند.
      برهان: می دانیم شرط لازم و کافی برای اینکه تابعی معکوش پذیر باشد این است که یک به یک باشد. حال آنکه تابع ثابت یک به یک نمی باشد. پس معکوس پذیر هم نمی باشد. به عبارت دیگر عمل معکوس یک تابع ثابت دیگر یک تابع نمی باشد.

      • تابع ثابت تابعی پوشا است.
      برهان: تابع ثابت را در نظر بگیرید. برای اثبات پوشا بودن باید نشان داد:

      حال در تابع ثابت داریم:
      که این نشان می دهد برای هر عضو از برد یعنی C یک عضو از دامنه چون x وجود دارد که x به C متناظر شود یا به عبارتی که این دلیل بر پوشا بودن f است.

      • تابع ثابت زوج می باشند به استثنای تابع که هم زوج و هم فرد است.
      برهان: تابع ثابت را در نظر بگیرید. دامنه این تابع مجموعه اعداد حقیقی است. لذا شرط اولیه زوج یا فرد بودن تابع یعنی متقارن بودن دامنه را دارا است.
      پس تابع مذکور زوج است.
      حال تابع را در نظر بگیرید. داریم:

      همچنین می توان نوشت:

      پس تابع مذکور هم در شرط زوج بودن و هم در شرط فرد بودن تابع صدق می کند پس هم زوج و هم فرد است.تابع علامت:
      تابع با ضابطه زیر را تابع علامت می گوییم:
      تصویر

      لازم به ذکر است که این تابع را با نماد نشان می دهند که نماد آن از واژه انگلیسی sign اقتباس شده است که ریشه اصلی آن، از واژه یونانی signum به معنای علامت است.
      همچنین ضابطه این تابع را برای X های مخالف صفر می توان اینگونه تعریف کرد:
      در این تابع دامنه مجموعه اعداد حقیقی است و برد این تابع برابر است با: .
      این تابع از معروف ترین توابع چند ضابطه ای است که نحوه عملکرد آن به این صورت است:
      • اگر متغییر x داده شده به تابع مثبت باشد آن را به عدد یک و اگر متغییر x داده شده به تابع منفی باشد آن را به منفی یک متناظر می کند و اگر متغییر داده شده x=0 باشد آن را به عدد صفر متناظر می کند. به عبارت دیگر این تابع هر عدد حقیقی مثبت را به یک، هر عدد حقیقی منفی را به منفی یک متناظر می کند و عدد صفر را هم به صفر متناظر می کند.
      • نمودار پیکانی زیر نحوه عملکرد تابع علامت(sgn) را نشان می دهد:
      تصویر

      • با توجه به ضابطه این تابع نمودار آن به این صورت خواهد بود:
      تصویر

      • بررسی ویژگی های تابع علامت

      برهان: تابع را در نظر بگیرید:


      که این نشان می دهد این تابع فرد است. همچنین نمودار این تابع نسبت به مبدا مختصات متقارن است که دلیل بر فرد بودن تابع است.

      • تابع علامت تابعی غیر یک به یک است.
      برهان: در توابع چند ضابطه ای شرط اولیه برای یک به یک بودن تابع این است که هر ضابطه یک به یک باشد اما مشاهدی می شود در مورد تابع علامت این شرط برقرار نمی باشد. پس این تابع یک به یک نمی باشد.

      برهان: می دانیم در بررسی پوشا بودن توابع چند ضابطه ای به این صورت عمل می کنیم که برد هر ضابطه را محاسبه کرده اجتماع آنها را بدست می آوریم. اگر حاصل با مجموعه انجام تابع برابر باشد تابع پوشا است. حال در تابع علامت اجتماع بردهای هر ضابطه برابر با مجموعه است(چرا؟).
      و چون با مجموعه انجام تابع یعنی برابر است پس این تابع پوشا است.

      تابع دیریکله(Dirichlet Function)
      اگر c و d دو عدد حقیقی متمایز باشند آنگاه تابع دیریکله را چنین تعریف می کنند:
      img/daneshnameh_up/5/58/DirichletFunction.gif

      این تابع چندضابطه‌ای را با نماد (D(x نشان می دهند و معمول ترین و صورت آن حالتی است که C=1 و ‌d=0 باشد که در این صورت تابع دیریکله به این صورت تعریف می شود:
      تصویر

      تعریف فوق از تابع دیریکله را همچنین می‌توان با استفاده از آنالیز ریاضی به این صورت نشان داد:

      به عنوان مثال:
      اگر x=2 باشد آنگاه:

      و اگر به جای x عدد پی که گنگ است را قرار دهیم:

      اما چون لذا تابع دیریکله را می‌توان به عنوان تابع مشخصه اعداد گویا در مجموعه اعداد حقیقی در نظر گرفت.
      از جمله ویژگی های مهم تابع دیریکله این است که در هیچ نقطه و بازه ای دارای حد نمی‌باشد، پیوسته و انتگرال پذیر هم نمی‌باشد.. به این ترتیب نموداری از آن نمی‌توان رسم کرد.